Admiral Meussen

Ранняя математика и вообще.

По следам семинара о занятиях алгеброй с маленькими детьми, проведённого в понедельник maria_d.

Маша начала разговор известной фразой из психолога Джерома Брюнера:
"We begin with the hypothesis that every subject can be taught effectively and in some intellectually honest form to any child at any stage of development"
[Мы начинаем с гипотезы о том, что любой предмет может быть эффективно и с определённой интеллектуальной честностью преподан любому ребёнку на любой стадии развития].

Потом она рассказала, про методы, игры, трюки и приёмы, используемые ей для развития в маленьких (< 7 лет) детях сугубо не-арифметических идей. Идей типа умножения и возведения в степень, циклов, отображений, коммутативности операций, симметрии и т.д. Причём, в силу возраста, большой упор предлагается делать на очень конкретных зянятиях с материальными предметами, играх, личных экспериментах руками с предметами, то есть, на всём том, что Маша (наверное, вслед за педагогической традицией, терминологии которой я не знаю) называет grounding - опора на конкретное.

На всякий случай оговорюсь, что сами игры и занятия - интересные и увлекательные, а сама Маша - замечательная и увлечённая, уверен, что детям с ней очень интересно.

Но я о другом. Допустим, что мы ставим себе цель научить ребёнка к определённому возрасту структуре и дисциплине математического мышления. Представим, что в некотором возрасте встречаются два ребёнка: обычный, научившийся вначале считать и складывать, а потом познавший более крутые идеи, и ребёнок, прошедший через машину школу, сначала научившийся играть с преображениями чисел, а потом научившийся считать и научившийся сопоставлять выученный счёт и начальные арифметические действия с теми преобразованиями, что он делал у Маши. Разумеется, все прочие условия должны быть равными, главное, оба ребёнка получили равное внимание и время для математических занятий с родителями и учителями. Есть ли у нас основания считать, что второй, "машин", ребёнок будет лучше обучен математически мыслить? Я в этом совершенно не уверен, и позитивного ответа от самой maria_d я не получил тоже. "Он будет по-другому обучен", - сказала она. В чём я не сомневаюсь.

Вышеупомянутый тезис Брюнера вызывает у меня сильный скептизм. "Определённая интеллектуальная честность" - понятие страшно размытое. Я верю в то, что словарь человека развивается строго в соответствии с его познанием, развитием и занятиями, вообще.
В недавнем разговоре ipain упомянул, мысль о том, что переворот дроби содержание/язык и есть момент формирования человека. Наверное, это значит, что количество содержания и языка в голове у человека может быть разным: у кого-то больше языка, чем мыслей, у кого-то наоборот. Даже не знаю, кого из них считать ребёнком, кого взрослым. Мне, самым религиозным образом, кажется, что сия дробь всегда равна единице, т.е., что говорить о дроби, вообще, не приходится. Нет, понятно, что наличие смутных, эмоциональных, интуитивных и прочих мыслей куда больше, чем можно выразить языком. Но, наверное, если говорить о математике или об измеримых науках можно предположить, что то, чего мы выразить не умеем, мы не знаем, не думаем и не понимаем. Моя школьная учительница математики Л.В.Шергалина, цитировавшая Шопенгауэра (выдавая его нам, кажется, за Чебышева) "Кто ясно мыслит, тот ясно излагает", была права.

В полу-шутку добавлю, что параллельное развитие мысли (по глазам видно) и появление её вербального представления я очень хорошо наблюдал и наблюдаю на собственном ребёнке. У меня нет никакого способа сказать, что ребёнок о чём-то думает (не говоря уж, "понимает"), пока он это не скажет. Представление о том, что в ребёнка можно вложить некое понятие, а уж потом, когда он достаточно повзрослеет, расширить его язык (словарь) до этого понятия, кажется мне недоказанным.

Таким образом, возвращаясь к Брюнеру, честно утверждать, что мы занимаемся с трёхлетним ребёнком именно "алгеброй", а не играем, например, в зеркальца или машинки, не приходится. Grounding съест в раннем возрасте любую математическую абстракцию, и дальше уж зависит о ребёнка, насколько он будет восприимчив к абстракции.

Итого, понять конкретно, чем подход, предлагаемый Машей Д., лучше традиционных способов, мне не удалось. Одно несомненно: с детьми надо заниматься, играть, проводить осмысленные эксперименты. И если упражнения, о которых рассказывала Маша, увлекательны и заразительны (а они, таки, да), то их тоже очень стоит использовать. Не претендуя на то, что занимаешься именно алгеброй.


UPDATE: В комментах появился подробный ответ от maria_d, и, возможно, будут ещё.
А это был "живой" семинар где-то в наших окрестностях?
Если так, то уже рву на себе волосы, что пропустила...
Да, мне очень жаль, что упустила шанс. Нам бы сейчас очень пригодилось.
Это исключительно из-за моих путаниц с расписанием: я до последнего дня не знала, когда и как всё будет. Организаторам спасибо за их терпение :-)
Между нами говоря, организаторы в следующий раз предпочтут просто прийти послушать семинар, а организацию предоставить, ей-Богу, кому-нибудь другому.
Меня пугает то, что, поставив себе цель научить ребенка алгебре, можно либо запустить чтение, рисование и все прочее, либо пытаться вырастить "маленького гения" и тратить все время на занятия, хотя бы и игровые, вместо того, чтобы просто поиграть в куклы.
Совершенно согласен. Но это не относится к теме, а уж, тем более к самой Маше. Баланс, вроде бы, нарушать никто не призывает. Просто, в то время, что ты решил позаниматься с ребёнком, ты можешь это делать так, а можешь - эдак.
Соответствие мышления способности излагать вызывает сомнение. Сталкивалась несколько раз с тем, как двухлетний ребенок, поздно научившийся говорить, вспоминал что-то яркое (обиды, радости) из догодового периода, когда он речью еще не владел. Жаловался, к примеру, на старшего мальчика из давних гостей, помня, как того звали. До года при этом даже не лепетал вопреки нормам.

И - а это важно, алгеброй заниматься или в машинки и зеркала играть, если малыш при этом что-то новое осваивает, головку напрягает? про подростка с алгебраическим талантом чудесная цитата у Крапивина: "не объяснишь ведь, что икс похож на желтый бильярдный шарик, мечется из угла в угол, а деваться ему все равно некуда.." Поймет малыш какие-то закономерности, пусть в других, своих терминах и представлениях - и славно. Не поймет - иной опыт получит. Если алгебраический гений не самоцель, то почему бы и нет?
Второй абзац - согласен с каждым словом. Я именно это и написал: что заниматься и что-то делать важно, что именно делать - почти всё равно. Как тоже деятельность всё, расказанное на семинаре, мне подошло. Преимуществ именно этого подхода - не увидел.

Насчёт мышления, я сознательно сузил мышление до математического и, скажем, естественно-научного. Давайте сузим, хотя бы, до умозаключений. Понятие "Вова - плохой", может быть, и можно вынести с до-двухлетнего возраста.
Я тоже встречал расказы о запомненных ранних образах, Льве Толстом, помнящем себя в утробе матери. Во-первых, у меня личного опыта никакого такого нет (и не зря большинство людей помнит себя с возраста, старше трёх лет). Во-вторых, подходя позитивистски, я могу сказать, что пока ребёнок об этой мысли не расскажет, какой у меня есть способ сказать, что он об этом думает? Мне легче предположить, что не думает, вообще :)
:)

а у Вас дети есть? у меня очень наблюдения редкие и хаотичные, но пугающе часто обнаруживалось несоответствие моих предположений и действительности.. Это приводит к настороженности: возможно все.. :)

Вообще, речь о преимуществах именно этого подхода всегда настораживает. Мне ближе видеть все подходы как тоже-деятельности и исходить из своих надоб и предпочтений. Наверное, бывают детеныши, как девочка из "Mister God, this is Anna" Финна, которая никак мне только литературным персонажем не видится - с ранним и глубоким интересом к устройству мира, и с ними этот подход безусловно на своем месте..

Взрослые удивительно умеют испортить самые простые и хорошие вещи: тот же малыш ходил с удовольствием в бассейн, пока пару раз не отказался идти и не был притащен насильно (ведь бассейн - это так важно и нужно и здорово), теперь слезы и страх перед водой.. Страшит при любом подходе..

Не-а, я не Л.П., я вполне себе эстонский филолух 1997 года поступления, сейчас языковую технологию двигаюуу. Встречались, конечно, город-то маленький, разговаривали даже сто лет назад на олимпиадном банкете - но и все. Не сложилось у меня к ней на "теорию перевода" попасть, а другие интересы не совпадают.

А Вы - на РФ учились, да?
Ага, то есть это действительно были Вы )
Да, конечно :)
Извините, что не получилось поговорить. Тем более, что я думал поговорить, когда всё кончится, но Вы ушли чуть раньше.
Единица анализа: тема
Спасибо за обсуждение вживую, мне очень понравилось, и за подробное продолжение его тут. До Бостона надо будет ещё доехать, очень уж вы там хорошие все, и продолжить ;-) Дам у себя ссылку, если не возражаете, сюда. Отвечаю по частям, потому что вопросы большие.

Я поняла, насколько важно для всего :-) понять и людям помочь понять, что называется, "единицу анализа" (unit of analysis). На данный момент у меня подготовлены материалы, позволяющие маленькие, по сравнению с Вашими вопросами - крошечные единицы анализа. А именно: не разработка целостных программ вроде системы Эльконина-Давыдова, и даже не разработка полной индивидуальной программы для конкретного ребёнка, а разработка отдельных ТЕМ, предметов. Например:
- идея таблицы, комбинаторные и основанные на числовых операциях таблицы, связь таблиц и функций, таблиц и координат (6-12 часов)
- идея функции, композиции, обратной функции, область определения и значения, итерация (4-6 часов)
- идея степеней, разложение любого количества по степеням, позиционная запись степеней, визуальные и символьные репрезентации (6-12 часов)
И так далее. Это то, что я изучала, тестировала с детьми, обсуждала на семинарах и конференциях.

Из известных разработок в России больше всего это напоминает, пожалуй, отдельные главы из книг Лёвшина про Магистра Рассеянных Наук, или же темы из "Занимательной арифметики" Перельмана, или кусочки компьютерных игр вроде "Башни знаний". Подчёркиваю - темы, кусочки, отдельные главы. ЕСЛИ я буду очень много работать, и программа разовьётся в сотрудничестве со многими десятками других проектов, лет через двадцать можно будет подойти к вопросу "научить ребёнка к определённому возрасту структуре и дисциплине математического мышления". Пока в этом отношении имеются:

- некоторые обобщения, из такого вот рода отдельных тем, о том, как дети "вообще" учатся (например, вопрос о роли слова в учении - отдельно вынесу), помогающие строить новые темы
- связи между темами, из которых можно выращивать более длинные цепочки занятий, например, построение связей между таблицами и функциями и уравнениями

Пока же можно сравнивать, если вообще этим хотим заниматься, ТЕМЫ из программ. Ну, найти другую программу, где шестилетки занимаются функциями, посмотреть, как там они это делают, как в Natural Math. Цитата Брюнера, которую я дала для начала обсуждения, для меня тоже о темах: что, во-первых, людям можно заниматься такими темами с любым возрастом (т.е. такие программы найдутся), и во-вторых, что нам стоит как-то для себя оценивать качество этих программ, фокусироваться на том, что они делают.
Re: Единица анализа: тема
Очень интересно, продолжайте пожалуйста. Мы все намного больше поймём в таком режиме.

Понятие определённого раздела знания, как "темы" - да, наверное, при таком толковании Брюнера, можно согласиться. Ребёнок ещё не умеет сказать и осмыслить, но тема (как музыкальная тема в увертюре) уже звучит потихоньку.

Ссылку - да, обязательно повесьте. А я повешу update, приглашающий заглянуть в комменты.
Спасибо!
О словах и других репрезентациях
Вот этот вопрос, о развитии репрезентаций и о связи с развитием понимания, для меня очень интересный. Для начала определение: репрезентация - это объект или действие, ссылающийся на другой объект или действие. Например, жест, слово, символ, картинка. Обычно репрезентации идут целыми системами: картинки, связанные между собой в структуру (таблицу, схему) и пояснённые словами; жест и слова; график и формула.

В большинстве репрезентационных систем каким-то образом присутствуют слова, так что для многих людей слова являются "базовой" репрезентацией, тем языком, которым объясняются и кодируются все другие репрезентации. Так это не для всех и не во всех обстоятельствах. Например, для ребёнка до года базовой репрезентацией является мимика и жесты и действия; для многих геометрических тем - чертежи и схемы, для многих компьютерных программ - иконические (похожие на изображаемое) символы вроде для добавления во френды.

Я предлагаю называть ВСЕ репрезентации, хотя бы в математике, "математическим языком" (или языками). Сила и глубина каждого математического понятия у человека выражается для меня в количестве репрезентаций этого понятия, с которыми человек может РАБОТАТЬ, и в связях между ними. Например, человек, способный внятно нарисовать четырёхмерный квадрат, выразить его формулой, описать словами и рисунками связь формулы и изображения, и решать задачи, в которых всплывают эти три репрезентации - скорей всего, развил довольно связную систему репрезентаций этого понятия.

Что знает человек? То, что он может ДЕЛАТЬ. Какие дела, действия бывают в математике? В первую очередь это постановка и решение задач. Задачи всегда ставятся и решаются в контексте других дел, совместно с другими людьми. Очень многие взрослые, и большинство детей, не распознают общую математическую структуру задач, поставленных в разных контекстах. Например (а это очень тривиальный пример):
- сколько комплектов одежды можно составить из трёх штанов и пяти свитеров?
- у каждого из пяти инопланетян по три глаза. Сколько линз нужно им всем на очки?
Математическая структура: 5*3 :-)

Где же в действиях всплывают репрезентации? В нескольких местах:
- когда мы общаемся про действия
- когда мы "храним" действия (записываем, запоминаем, вспоминаем)
- когда мы ищем связи между разными действиями, как в примере выше (мета-действия)

Репрезентации ОЧЕНЬ важны для детей, в том числе маленьких. Одна из основных претензий у меня к большинству существующих материалов для малышей - недостаточное внимание к развитию репрезентаций. В этом отношении российские разработки довольно симпатичны, и некоторые американские последних лет пятнадцати. К вопросу о том, что было раньше, курица или яйцо слово или мысль, хочу процитировать Гёте; это эпиграф к моему обзору литературы в диссертации ;-)
"В начале было Слово". С первых строк
Загадка. Так ли понял я намек?
Ведь я так высоко не ставлю слова,
Чтоб думать, что оно всему основа.
"В начале мысль была". Вот перевод.
Он ближе этот стих передает.
Подумаю, однако, чтобы сразу
Не погубить работы первой фразой.
Могла ли мысль в созданье жизнь вдохнуть?
"Была в начале сила". Вот в чем суть.
Но после небольшого колебанья
Я отклоняю это толкованье.
Я был опять, как вижу, с толку сбит:
"В начале было дело", - стих гласит.


Итак, сначала мы действуем; в процессе действия рождаются репрезентации и мысли, думаю - одновременно, друг друга со-творяя. Задача педагога - поддержать действия, которые имеют шанс помочь ученику построить Мысль и Слово.
Re: О словах и других репрезентациях
Весь текст освоить трудно, но с последними утверждениями я согласен (не буквально). Для себя я бы переформулировал так. В действии рождается понимание.
Мне привычнее слово модель. Это не тоже самое, что репрезентация?

Еще раз скажу, что никакого единственно правильного подхода не существует, по-моему. Талантливые педагоги безусловно существуют.
Очень согласна. Просто очень-преочень согласна. Это часть, как я понимаю, в целом более широкого разговора под названием "раннее обучение" - алгебре ли с 3, чтению ли с года и т.д. Честно сказать, я просто не понимаю, зачем. Зачем тратить так много усилий, фантазии, энергии, изобретательности на ознакомление трехлетнего ребенка с алгебрическими (или любыми другими) понятиями, до которых он просто физиологически не дозрел, если можно научить его этому в более зрелом возрасте, без таких сумасшедших трюков? Куда все торопятся?
А если ему интересно?

В каком смысле "физиологически не дозрел"? Если ребенку что-то интересно - значит, дозрел. И если он в раннем возрасте поймет что-то "печенками" - то ему уже не надо будет потом в течении 11 лет в школе это "выучивать" и зазубривать... Увы, с математикой - запросто можно опоздать, и как раз "в более зрелом возрасте" усилий потребуется гораздо больше, если пропустить "правильный" момент.
Тут, к сожалению, возникает вопрос "в каком смысле ребёнку что-то интересно?".
"сумашедшие" трюки подчас приходится изобретать учителям (или репетиторам) гораздо более взрослых детей. очень часто бывает, что школьник никак не "влезает" в алгебру или в текстовые задачи. И далеко не первое объяснение "на пальцах" ему подойдет. Это уже нельзя назвать "не дозрел". Поэтому Машин опыт как раз очень ценен.
Другое дело, что я не всегда уверена, что именно маленьким детям стоит подсовывать то, что им еще трудно понять.
Эммм... Предупреждаю сразу: я тут буду немножко играть в devil's advocate и говорить об идее в целом. Собственно, чем занимается с детьми Мария, я не знаю, а на ее сайт неоднократно давала ссылки как на пример "хорошей" математики, так что в целом мне эти идеи - очень даже нравятся, и я частенько обнаруживаю знакомые вещи, которые далала со своими (собственными и кружковскими) детьми. Если меня что и беспокоит - так это огромное количество "репрезентаций", которые могут играть роль "шума" и "забивателя процессора", в особенности - если они "спущены сверху" (а при не-индивидуальных занятиях это практически неизбежно)

В общем, родилась у меня аналогия: начинать с алгебры, а потоооом добавлять арифметику - это примерно как начинать с чтения вслух и обсуждения хороших книг, не обучая ребенка при этом чтению как таковому (в смысле - умению расшифровать печатный текст). Это вполне возможно, для некоторых детей (дислексиков, скажем) - даже предпочтительно; но это требует огромных трудозатрат родителя/обучателя, лишает ребенка некоторых возможностей (самостоятельность в действиях - пшел и перечитал; самостоятельность в восприятии - читать без наложения маминых эмоций, интонаций и трактовок; выбор - что читать; каналы восприятия). И - не уверена насчет чтения, но с математикой получается бОльшая вероятность искаженного восприятия (возможно, мне это кажется в силу того, что преподавание арифметики более традиционно и "устоялось"; но вроде бы, если у ребенка создалась в результате "обучения" концепция, что чем больше цифр после десятичной запятой - тем число меньше, то это обнаружить проще, чем если у него что-то алгебраическое "не так легло")

Нда. Главные, наверное, мои возражения - это высокие трудозатраты (с меньшей отдачей) и опасность искажений (в голове у ребенка). И - похоже, что и то, и другое проистекает из социальных и психологических факторов. Арифметические задачи - плотно вписаны в нашу жизнь, они естественным образом встают перед ребенком, а ведь ясное дело - проблема, решить которую [b]нужно[/b] для чего-то реального (а не для абстрактной игры умственными мышцами) - такая проблема откладывается в голове гораздо лучше. Да и учителя с родителями... Спросить "сколько еще вилок нужно принести?" для мамы - проще, чем между делом подкинуть что-то про координатную плоскость... А рассыпанные по Интернету отзывы родителей про то, как мучаются их дети с программами Эльконина, Занкова, и как ненавидят (прекрасные на мой взгляд) учебники Петерсон? Невольно возникает мысль, что преподавание математики по нестандартной программе - не всякому учителю по силам, и вообще это - "не наука, а искусство", и результат не воспроизводится.

В общем, я-то лично просто-напросто своим детям и чтение, и математику давала параллельно. И концепции, и технику. При этом "инструмент" - умение читать и оперировать числами - старалась обеспечить как можно раньше, чтобы дети раньше обрели самостоятельность.

Впрочем, Мария ж тоже свою алгебру на арифметике строит (пять монстров по три глаза), так что чего уж там...
по поводу хороших программ
Мне кажется, что неумелым преподаванием испоганить можно любую программу. Наверное, если Маша будет "внедрять в массы" свою систему, надо обязательно продумать какие в ней есть неоднозначные моменты, где учителя могут переусердствовать. То есть что-то вроде "защиты от дурака".
Еще момент. Я бы не стала называть эти действия алгеброй. (во избежание путаницы среди преподавателей особенно, еще будут говорить, что алгебра это "a+b", ;-) Скорее, это структура арифметики или структура чисел. То есть изучать алгебру - не то же самое, что изучать модели умножения и степеней.
Re: по поводу хороших программ
В том-то и дело, что одни программы гораздо легче испортить, чем другие... У учителя "сидит в печенках" (в подсознании) то, что принято в нашем обществе. Координаты, функции и логарифмы учитель "проходил" в более старшем возрасте, чем оперирование числами, и у многих учителей представление о них - поверхностное. Тут даже речь не о том, что они не смогут сами придумать хорошую репрезентацию, они даже и существующую-то ребенку на хорошем уровне дать не смогут. А еще - не смогут уловить, когда у ребенка в голове что-то "уложилось" не так... а если и уловят - не смогут придумать, как исправить... Слишком большой импровизационный компонент нужен будет, имхо. "Защиту от дурака" не очень-то разработаешь. Даже если попреподавать по такой системе лет сто - чтоб поколение преподавателей уже само на ней выросло, и чтоб наработать базу данных с возможными ошибками и искажениями, - просто-напросто материал более сложный, более концептуальный... все "защитить" не получится. Во-от если Марию клонировать... :))

А называть можно как угодно... Мария называет алгеброй, - ну и хорошо. Жираф большой...
Да, очень точные метафоры. Высокие трудозатраты, непереводимость на язык методики, то есть не-клонируемость метода.
Есть материал, на котором даже маленький ребенок легко перейдет от "граундинга" к абстракции. Счет, например (в некоторых племенах, да, 3 кокоса - это одно, а 3 обезьяны - совсем другое... но у нас - двух-трехлетки очень легко интернализируют идею количества, безо всяких отдельных занятий, by osmosis; с алгеброй - естественного by osmosis не получится, культура не та). А с более сложными вещами - во-первых, нужны именно занятия; во-вторых, ребенок запросто может "застрять" на репрезентации, не сделав шага к абстракции(не опознает "знакомую" структуру в предложенной задаче - педагоги в таких случаях говорят, "не умеет применять знания"); в-третьих, (я уже когда-то "дьявол-адвокатствовала" в теме про шагание по координатной плоскости) - репрезентация (особенно сложная и не самим ребенком придуманная) может "занимать слишком большую часть процессора", стать "вещью в себе" и сделаться необходимой составной частью абстракции.

Попробую поподробнее, о чем я, хотя и так уже лишнего расписалась чего-то...

Пункт 1 - "отдельные занятия". Одно дело, когда ребенок что-то осваивает между делом, по тому же механизму, как и язык. В нашей культуре - и чтение, и арифметику таким способом ("by osmosis") освоить вполне можно, и во многих семьях это так и делается - еще до школы. Без специальных занятий, без напряжения. А "занятийное" время - можно еще на что-нить полезное пустить, на театр там или на музыку... в общем - на то, что осмозисом не впитывается.

Пункт 2... О, уже написала, и обнаружила чуть выше почти дословно - "не распознают общую математическую структуру задач". Ну вот, мой пункт 2 - как раз об этом. Распознавать структуру арифметических задач - легче (хотя тоже случается - "эта задача про белок, а та - про землекопов"). В предлагаемой алгебре - мне кажется, куски материала более крупные, что ли... или - "более философские". Квантовать мельче - бесполезно, там "смысла" уже нету. А крупные куски подходят для "аналитического" ребенка - который строит знание, отталкиваясь от big picture (как frame house - сколотили раму, потом навесим щиты постепенно). А для sequential learner - надо все по шажочку, по кирпичику... а ему грят - через пропасть прыгай...

Нда, что-то меня совсем понесло... В общем, речь о ребенке, который будет прекрасненько оперировать с предложенными ему таблицами разных видов, но если дать задачу рассортировать красные и зеленые квадраты и треугольники - ему и в голову не придет связь с таблицей. И - все бы ничего, если ему таблицы долго и упорно демонстрировать в разных видах, он рано или поздно "допрет", что к чему... Но - эту бы энергию, да в мирных целях, а?

Пункт 3 - уже не про "трудозатраты", а про ошибки. Или.. не ошибки, а э... "опасности". Попрыгает ребенок по координатной плоскости - и не дай Бог станет в дальнейшем при виде такой плоскости мысленно на нее перемещаться и пытаться моделировать задачу с такой "точки зрения"... Это был так, один из приемов ознакомления с понятием плоскости, но - дети же. Никогда не знаешь, "как слово наше отзовется". Для них форма - такая же важная штука, как и содержание. Может "запасть" именно форма.